クォータニオン

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本ページではOMRON NX/NJシリーズ向け計算ライブラリのクォータニオン演算関数について解説します。
クォータニオンの基礎理論については姿勢制御（オイラー角・クォータニオン） をご覧ください。

クォータニオンとは

クォータニオン（Quaternion）は3次元空間の回転を表現するための数学モデルです。
ロボット制御、ドローン制御、姿勢制御、3Dグラフィックスなどで広く使用されています。 オイラー角ではジンバルロックが発生する場合がありますが、クォータニオンではその問題を回避できます。

クォータニオンの利用例

• 携帯の中のジャイロで姿勢をリアルタイムで計算
• ゲームの中の回転はユニティやアンリアルなどのエンジンが計算
• スペースXのロケットがの姿勢制御をリアルタイムで計算
• ロボット制御
• 自動運転
• AR（仮想現実）

関連ページ

• 行列
• 回転の相互変換

クォータニオン演算一覧

クォータニオン生成 (Quaternion)

Quaternion

入力

w

スカラー部(実部)

x

ベクトル部x(虚部)

y

ベクトル部y(虚部)

z

ベクトル部z(虚部)

出力

out

クォータニオン

例

入力

w

1.0

x

2.0

y

3.0

z

4.0

出力

out

\[ \begin{bmatrix} q_w \\ q_x \\ q_y \\ q_z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{bmatrix} \]

計算式

\begin{align} q=q_w+q_xi+q_yj+q_zk=& \begin{bmatrix} q_w \\ q_x \\ q_y \\ q_z \\ \end{bmatrix} \\ i^2+j^2+k^2=&-1 \\ ij=&k \\ jk=&i \\ ki=&j \end{align}

比較 (qtEQ)

qtEQ

入力

Q1

クォータニオン１

Q2

クォータニオン２

例

加算 (qtADD)

qtADD

入力

Q1

クォータニオン１

Q2

クォータニオン２

出力

out

クォータニオン

例

入力

Q1

[1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

Q2

[0.5, 2.0, 1.0, 0.0]

出力

out

[1.5, 3.0, 2.0, 1.0]

計算式

\[ Q1+Q2 = \begin{bmatrix} a_{w} \\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{w} \\ b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \\ \end{bmatrix} = out \]

減算 (qtSUB)

qtSUB

入力

Q1

クォータニオン１

Q2

クォータニオン２

出力

out

クォータニオン

例

入力

Q1

[1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

Q2

[0.5, 2.0, 1.0, 0.0]

出力

out

[0.5, -1.0, 0.0, 1.0]

計算式

\[ Q1-Q2 = \begin{bmatrix} a_{w} \\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} b_{w} \\ b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \\ \end{bmatrix} = out \]

外積 (qtCross)

qtCross

入力

Q1

クォータニオン１

Q2

クォータニオン２

出力

out

クォータニオン

例

入力

Q1

[1.0, 1.0, 1.0, 1.0]

Q2

[0.5, 2.0, 1.0, 0.0]

出力

out

[-2.5, 1.5, 3.5, -0.5]

計算式

\[ Q1\times Q2 = \begin{bmatrix} a_{w} \\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} b_{w} \\ b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z} \\ \end{bmatrix} = out \]

共役 (qtCQ)

qtCQ

入力

qt

クォータニオン

出力

out

クォータニオン

例

入力

qt

[0.5, 2.0, 1.0, 0.0]

出力

out

[0.5, -2.0, -1.0, -0.0]

計算式

\[ \bar{qt} = \begin{bmatrix} a_{w} \\ a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \\ \end{bmatrix} = out \]

実部の設定 (qtSetReal)

qtSetReal

入力

w

スカラー部（実部）

入出力

qt

クォータニオン

例

入力

w

0.5

入出力

qt

[0.5, 0.0, 0.0, 0.0]

虚部の設定 (qtSetImag)

qtSetImag

入力

vec

ベクトル部（虚部）

入出力

qt

クォータニオン

例

入力

vec

[1.0, 2.0, 3.0]

入出力

qt

[0.0, 1.0, 2.0, 3.0]

よくある質問

クォータニオンとは何ですか？

4つの成分で回転を表現する数学モデルです。

オイラー角との違いは？

ジンバルロックが発生せず滑らかな回転補間が可能です。

ロボット制御で使われますか？

産業用ロボットやドローンなどで広く利用されています。